本文作者：卢 昌海

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem – what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

三十五. 未竟的探索

我们的 Riemann 猜想漫谈到这里就接近尾声了。 在过去的一个半世纪里， 无数数学家从各种角度为探索这一猜想付出了艰辛的努力， 但可惜的是， 直到今天它仍是一个未被证明 (或否证) 的猜想， 对这一猜想的探索迄今仍是不断延伸着的未竟的征途。

在数学领域中， 超过一个半世纪未能解决的猜想当然不止 Riemann 猜想一个， 比如著名的 Fermat 猜想 (即如今的 “Fermat 大定理”) 自提出后隔了超过三个半世纪才被解决； 迄今尚未被证明 (或否证) 的 Goldbach 猜想 (Goldbach conjecture) 也已存在了两个半世纪以上， Riemann 猜想的历史与它们相比还差得很远。 但在所有高难度的数学猜想中， 若以它们跟其它数学命题之间的关系， 乃至与物理学那样的自然科学领域之间的关系 (这些关系在很大程度上决定了一个数学猜想的重要性) 而论， Riemann 猜想可以说是无与伦比的^[注一]。

与 Fermat 猜想或 Goldbach 猜想那种连中学生都能看懂题意的数学猜想不同， 理解 Riemann 猜想是有一定 “门槛” 的， 因为仅仅理解其表述就需要有一些复分析方面的知识。 由于这一特点， 这一远比 Fermat 猜想和 Goldbach 猜想更重要的数学猜想的公众知名度要远远低于后两者， 也较少受到民科们的青睐——当然也绝非没有， 但起码是不曾有任何机构收到过数以麻袋计的来信， 声称自己证明 (或否证) 了 Riemann 猜想 (Fermat 猜想和 Goldbach 猜想都曾引发过此等 “盛举”)。 不过， 尽管 “杂音” 相对较少， 但在 Riemann 猜想那样艰深的数学猜想面前， 无论多么精英的群体也难免会搞出意外事件来。 我们在 第六节 中曾经介绍过一次那样的事件， 即荷兰数学家 Stieltjes 声称自己证明了一个比 Riemann 猜想更强的命题， 但后来却一直没有发表完整的 “证明”， 最终不了了之。 在最近这十几年里， 也出现过两次值得一提的事件。 在结束我们的漫谈之前， 我们先来聊聊这两次事件。

这两次事件中的第一次始于二十世纪九十年代， 核心人物是法国数学家 Alain Connes (1947-)。 Connes 是一位极有声望的数学家， 曾获得过 1982 年的 Fields 奖， 并且是非对易几何 (noncommutative geometry) 的主要奠基者。 二十世纪九十年代中期时， 他开始研究 Riemann 猜想。 对于小道消息相对匮乏的数学界来说， 这样一位著名人物开始研究 Riemann 猜想自然是非同小可的消息。 因此早在 Connes 正式发表这方面的文章之前， 有关他正在研究 Riemann 猜想的小道消息就在圈内不胫而走， 并引起了很多人的兴趣。 扑灭小道消息的最好手段无疑是用 “官方消息” 取而代之。 1997 年早春， 这样的 “官方消息” 正式出炉了： Connes 决定到 Princeton 高等研究所， 向包括 Selberg 在内的 Riemann 猜想研究领域的若干巨头报告自己的工作思路。

Connes 的思路确实颇有来头： 既继承了自二十世纪七十年代之后颇受瞩目的 Hilbert-Pólya 猜想 的路子， 也借鉴了 Weil 和 Grothendieck 等人在研究 “山寨版” Riemann 猜想 的过程中发展起来的代数几何方法， 甚至还用上了他自己参与开创的 “看家本领”： 非对易几何。 这几条路子每一条都很能吸引眼球， Connes 居然将它们融会贯通到自己的研究之中， 确实不简单， 也确实对得起 “观众” 们的热情。 但来到 Princeton 高等研究院听报告的那几位巨头却并不是看热闹的人， 那些令常人眼花缭乱的东西， 在他们锐利思维的解剖下， 被一一还原为冰冷的逻辑， 并且显出了漏洞， 那就是 Connes 所报告的方法存在一个 “先天” 不足， 它无法发现不在临界线上的非平凡零点！ 这个漏洞是很严重的， 因为 Connes 的方法如果无法发现不在临界线上的非平凡零点， 那它就会营造出一个错觉， 让人误以为所有的非平凡零点全都在临界线上。 这就好比有一批不是蓝色就是红色的小球， 你若戴上一副只能看见其中一种颜色的滤光镜去看它们， 就有可能误以为所有小球都是那种颜色的。 因此， Princeton 高等研究院的那几位巨头在 Connes 的报告之后所给出的最正面的表示也只是审慎的鼓励， 即认为 Connes 确实取得了一些进展， 但与 Riemann 猜想的证明仍有相当距离^[注二]。

这一事件原本就到此为止了， 没想到后来却闹出了一点新的意外。 Connes 的 Princeton 演讲之后不久恰好是西方社会一个最有趣的节日： “愚人节” (April Fools’ Day)。 很多人在这一天 (4 月 1 日) 的习惯是互相开玩笑， 试图对别人 (通常是朋友) 进行善意的愚弄， 出席过 Connes 报告的巨头之一、 1974 年 Fields 奖得主 Bombieri (我们在 第十四节 中曾提到过他) 也不例外， 他给一位朋友发去了一封 “愚人节” 邮件， 宣称有位年轻的物理学家受 Connes 报告的启发， 终于完成了 Riemann 猜想的证明！ 由于当时数学界很多人正四处打探和传播着有关 Connes 工作的消息 (尤其是与 Connes 的 Princeton 报告有关的消息)， Bombieri 这权威之人发自权威之地的消息一出， 收到邮件的数学家朋友当场就中了招， 信以为真地把它传了出去。 这消息传得很快， 甚至连已从 Princeton 回到法国的 Connes 本人都很快就知道了， 让他颇为不快。

当然， 有道是 “谣言止于智者”， 一个 “愚人节” 玩笑在智者云集的数学家群体中是不会惹出太大动静的， 不久之后有关 Connes 报告导致 Riemann 猜想被证明的消息就平息了下去。 但这个误传的消息似乎将数学家们对 Connes 的兴趣透了支， 以至于后来无论是 Connes 1999 年正式发表的论文， 还是他在同一方向上的进一步研究， 都没有再引起当初那样的关注。 不过 Connes 本人对此看得很开， 他曾经表示：

对我来说， 数学一直是一所教人谦虚的最好学校。 数学之所以有价值， 主要就是因为那些极其困难的问题， 它们就像数学的喜玛拉雅山。 登顶是极其困难的， 甚至必须为之付出代价， 但千真万确的是， 如果我们能登顶， 那里的风景将是奇妙的。

对于那 “必须为之付出” 的代价， 他在 2000 年发表的一篇文章的开头曾经作过这样的表述： “按我第一位老师 Gustave Choquet 的说法， 公开面对一个著名的未解决问题是一种冒险， 因为别人将更多地记住你的失败而不是其它。”^[注三] 尽管如此， Connes 仍选择了冒险攀登数学的喜玛拉雅山， 因为： “在到达某个年龄之后， 我意识到 ‘安全地’ 等待自己生命的终点同样是一种让自己失败的选择。”

有关 Connes 的事件大体就是如此， 他目前仍在攀登， 虽然已也不再是镁光灯下的焦点， 我们仍衷心祝愿他取得进展。 在 Connes 的事件之后又过了几年， 2004 年， 另一个事件发生了： 美国 Purdue 大学的数学教授 Louis de Branges (1932-) 在互联网上张贴了一篇长达 124 页的论文， 宣称自己证明了 Riemann 猜想！ 由于在此前的 2000 年 5 月， 美国 Clay 数学研究所 (Clay Mathematics Institute) 已经为七个所谓的 “千禧年问题” (Millennium Problems) 设立了每个一百万美元的巨额奖励， 而 Riemann 乃是其中排名第四的问题^[注四]。 因此 de Branges 的宣称立刻引起了一些媒体的关注。

但数学界对此事的反应却相当冷淡。

为什么呢？ 这还得从 de Branges 是一位怎样的数学家说起， 简单地讲， de Branges 堪称是一位史上最离群的数学家。 数学界离群的人物为数并不少， 但其他数学家再怎么离群， 至多是在人际关系上离群， de Branges 却连数学工具也是离群的， 他是一个几乎只用自创的数学工具进行研究的家伙， 而他自创的数学工具除了他本人和为数有限的几位学生外， 几乎无人通晓。 这种超乎寻常的离群性大大孤立了 de Branges， 他在数学界的人缘连他自己也不得不承认是很惨的。 更糟糕的是 (其实这才是重点)， 他还是一个工作很粗心的家伙， 甚至颇有民科气质， 经常宣称自己证明了重大数学猜想， 其中包括对证明 Riemann 猜想的多次错误宣称， 只不过在 “千禧年问题” 出炉之前媒体不太关注而已。 当然， de Branges 如果真是一个民科， 事情倒简单了， 我们也就不会在这里谈论他了。 此人的恼人之处就在于他虽然很有民科气质， 却也真刀真枪地作出过一次正确的宣称， 而且所解决的还是一个有着几十年历史的著名猜想： Bieberbach 猜想 (Bieberbach conjecture)——那猜想如今已被称为了 de Branges 定理 (de Branges’s theorem)。

照说有过此等业绩、 甚至有数学定理以其名字命名的数学家是不该受到如此冷遇的。 而且 de Branges 当年对 Bieberbach 猜想的证明本身也是在有过几次错误宣称之后， 才得到公认的。 这似乎在从历史角度启示人们应该对他有关 Riemann 猜想的证明给予一点关注 (或同情？)。 可惜的是， de Branges 在犯错方面的名声实在太狼藉了， 以至于就连对 Bieberbach 猜想的证明也不够份量来抵消了。 比如 Selberg 就毫不客气地嘲笑说 de Branges 曾经犯过所有类型的错误， 他对 Bieberbach 猜想的证明只不过说明他还犯下了 “做对了” 的错误 (made the mistake of being right)。

de Branges 的 “证明” 受到数学界的冷遇还有两个重要原因： 其中一个就是我们前面所说的， 他几乎只用自创的数学工具进行研究， 而那工具除他本人和几位学生外， 几乎无人通晓。 这给人们检验他的工作造成了巨大困难。 当年他对 Bieberbach 猜想的证明之所以被接受， 乃是几位苏联数学家花费了几个月的时间研读他的证明， 并对之进行简化的结果。 而此次有关 Riemann 猜想的文章比当年的证明还要复杂得多， 他的名声却比那时更差了， 愿意花时间去研读他文章的人自然就更少了。 而且要命的是， 他的论文还引用了过去几十年他所撰写的其它一些无人问津的论文， 从而对读者来说更是 “不可承受之重”。 另一个也许更致命的原因则是， 虽然 de Branges 的 “证明” 受到了数学界的冷遇， 但毕竟还是有个别数学家对他的论文进行了粗略光顾。 不幸的是， 光顾的结果却是发现了缺陷， 从而进一步坐实了他的恶劣名声。 另外还有人注意到他的论文中有一些 “前言不搭后语” 的东西， 比如序言里反复提到量子力学， 正文中却完全没有呼应； 文献中列举了 Hermann Weyl 的一部著作， 正文中也根本没有引用， 这一切都让人深切地感觉到 Riemann 猜想被这位已年过七旬的老人所证明实在是不太可能的事情。 也许是因为缺陷遭到曝光的缘故， de Branges 后来撤掉了最初版本的论文， 但他并未就此认栽。 他的论文几经修改后， 口气反而越改越大， 目前所宣称的结果甚至比我们在 上节 中介绍过的 “豪华版” Riemann 猜想之一的广义 Riemann 猜想还略强一些。 可惜他这第 N+1 次的 “狼来了” 故事是真的再也无人问津了， 更没有学术刊物愿意发表。

这就是有关 de Branges 的事件。 除 de Branges 外， 还有一些其他人也宣称过自己 “证明” 或 “否证” 了 Riemann 猜想， 他们的论文往往只有寥寥几页或十几页， 引起的反响则基本是零， 就按下不表了。

接下来我们再聊点趣话。 读者们也许还记得， 在一百多年前的十九世纪末， 法国数学家 Hadamard 和比利时数学家 Vallée-Poussin 取得了自 Riemann 提出猜想三十多年以来的第一个实质性进展， 即将非平凡零点的分布范围由 0≤Re(s)≤1 缩小到了 0<Re(s)<1 (参阅 第七节)。 很巧的是， 这两人在数学家之中都以长寿著称： Hadamard 活到 98 岁， Vallée-Poussin 活到 96 岁。 数学界后来流传起了一个说法， 那就是如果有人证明了 Riemann 猜想， 他就会不朽——不仅是抽象意义上的不朽 (那是毫无疑问的)， 而且是实际意义上的不朽 (即长生不老)， 因为 Hadamard 和 Vallée-Poussin 这两人仅仅取得了一点点进展， 就都活到了将近百岁。 当然， 这个传说看来是没有关怀到另一些也取得过一点点 (有的甚至还不止一点点) 进展的数学家， 他们可就没那么好命了， 比如证明了 Bohr-Landau 定理 (参阅 第二十二节) 的 Bohr 和 Landau 就分别只活了 63 岁和 61 岁。 比上述传说更厉害 (或更歹毒) 的传说则是 Odlyzko (我们在 第十六节 中介绍过此人) 提出的， 是一个与上述传说恰好 “互补” 的说法， 即谁要是否证了 Riemann 猜想， 他就会立刻死去！ Odlyzko 甚至开玩笑说其实 Riemann 猜想已经被否证了， 只不过那个否证了 Riemann 猜想的倒霉蛋没来得及发表文章就死去了。

这些传说当然只能为我们的漫谈增添点趣话， 不过， 证明或否证 Riemann 猜想的人会 “不朽” 或 “速死” 虽是无稽之谈， Riemann 猜想的极度艰深倒确实有可能对数学家的健康产生影响。 事实上， 数学界的确有人认为 Riemann 猜想的极度艰深有可能对几位数学家的精神异常起到过一定作用 (不过证据都不是很强)。 这方面比较著名的例子有两个： 一个是广为流传的传记作品《美丽心灵》(A Beautiful Mind) 的主角、 美国数学家 John Nash (1928-)。 二十世纪五十年代后期， 这位已在博弈论 (game theory) 等领域做出过重要工作的数学家对 Riemann 猜想产生了兴趣。 不久之后， 他开始宣称自己找到了 Riemann 猜想的证明。 而数学界此时流传的却是一些有关他罹患精神分裂症 (schizophrenia) 的消息。 这消息很快得到了证实： 1959 年， Nash 在 Columbia 大学作了一次演讲。 那次据说意在宣布 Riemann 猜想证明的演讲实际上成为了公开展示 Nash 精神分裂症的场合， 他的演讲几乎达到了语无伦次的程度， 到场听讲的数学家们只有用平时很少使用 (对著名同事更是几乎从不使用) 的词汇——比如 “灾难性的”、 “完全是胡扯” 等等——才能形容那次演讲的糟糕。 Nash 罹患精神分裂症的原因， 一般认为是参与军方工作所引致的心理压力， 但发病前的那段时间与他研究 Riemann 猜想恰好重叠， 使得有些人认为 Riemann 猜想对他的病症发展有可能起到过推波助澜的作用。

另一个例子的主角是我们在 第三十三节 中提到过的、 曾经为证明 “山寨版” Riemann 猜想 (即 Weil 猜想的一部分) 作过重要铺垫工作的 Grothendieck。 这位在代数几何等诸多领域有着卓越贡献的数学家也有人猜测可能是因为研究 Riemann 猜想的缘故， 使得精神出现异常， 自上世纪七十年代开始就基本退出了学术界， 后来发展到 “离家出走”， 几乎从世界上消失了^[注五]。 人们猜测他目前住在法国南部。 关于他在做什么， 则众说纷纭， 有人说他正在研究一种新的经济学， 有人说他在牧羊， 而据个别自称与他仍有过交往的数学家说， 他已沉溺于对恶魔 (devil) 的想象不能自拔， 比如他相信是恶魔把本应该是 300,000 千米/秒 的数值优美的光速变成了很难看的 299,887 千米/秒 (细心的读者也许注意到了， 这个数值本身就是错的， 实际数值应为 299,792.458 千米/秒， 不知是 Grothendieck 记错了还是数学家传错了)。 Grothendieck 失踪十几年后， 很多人都已搞不清他是否还健在， 他却忽然于 2010 年 1 月给自己以前的学生、 法国数学家 Luc Illusie (1940-) 写了封亲笔信， 宣布自他 “消失” 后所出版或再版的他的一切文字都是未经许可的， 那些文字不得再版， 已收录了那些文字的图书馆也必须将之撤除。 他的这一信件被公布后， 一些提供那些文字的网站已对有关内容作了撤除。 这个要求对数学界是一件不幸的事情， 因为他的很多文字， 比如著名的《代数几何基础》(Éléments de géométrie algébrique——简称 EGA) 和代数几何讨论班资料 (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie——简称 SGA)， 都早已是极重要的资料， 如果不能再版或不能被图书馆收录的话， 后人将会越来越难看到它们^[注六]。

写了这么多有关 Riemann 猜想的故事， 介绍了这么多有关 Riemann 猜想的进展， 有一个问题似乎不能不提一下——而且那想必也是读者们感兴趣的问题， 那就是 Riemann 猜想将会被证明是正确的呢， 还是会被证明为错误 (即否证)？ 可惜的是， 这个有关 Riemann 猜想 “前途命运” 的问题是一个谁都能提出， 却没有人能够回答的问题， 数学家们对此也各有各的倾向而毫无共识。

有些数学家坚信 Riemann 猜想是正确的， 比如我们在 第十四节 中提到过的那位输掉了葡萄酒的 Zagier。 Zagier 相信 Riemann 猜想的理由很 “纯朴”， 那就是认为数值证据已经足够强大了——读者们想必还记得， 他是因为有人验证了 Riemann ζ 函数前三亿零七百万个零点都在临界线上而输掉葡萄酒的。 这个纪录如今早已被打破， 我们在 附录二 中介绍过， 二零零四年十月， 法国人 Gourdon 与 Demichel 已经验证了 Riemann ζ 函数前十万亿 (10¹³) 个零点都在临界线上。 不仅如此， 我们在 第十六节 中还介绍过， Odlyzko 曾经验证过第 10²² 和 10²³ 个零点附近的几百亿个零点也全都在临界线上。 这些证据都远远强于使 Zagier 满意的证据。 可见支持 Riemann 成立的数值证据确实很强大。 但可惜的是， 所有这些证据加在一起， 也无法成为让所有人信服 Riemann 猜想的可靠理由。 其原因不仅在于从逻辑上讲再多的数值证据对于一个包含无穷多个例的猜想来说都是微不足道的， 而且也因为在数学上我们已经遇到过这样的例子， 即一个数学命题的反例出现在比上述所有数值证据都强得多的证据之外。 那例子就是我们在 第三节 的 注释 中提到过的、 被 Littlewood 所否证了的关于 Li(x)-π(x)>0 的猜测。 对于迄今所有被验证过的情形， Li(x)-π(x)>0 都成立， 但 Littlewood 却运用分析的力量， 不仅证明它不成立， 而且证明了它会被违反无穷多次！ 那么所有验证过的情形说明什么呢？ 说明虽然有无穷多个 x 违反 Li(x)-π(x)>0， 但其中哪怕最小的 x 也大得异乎寻常^[注七]。 事实上， 我们直到今天也不知道这个最小的 x 究竟有多大， 目前对它的估计约为 10³¹⁶。 这个数字如果用中文写出来的话， 是： 一万亿……亿 (此处作者略去三十七个字——别想歪了， 大家知道略去的是什么字)。 与这个数字相比， 我们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的数值验证简直差得太远了。 假如 Riemann 猜想的反例也出现在那样的地方 (即比如出现在第 10³¹⁶ 个零点的附近)， 那我们再算上几辈子也未必能碰到数值反例。 因此， 有关 Riemann 猜想的数值证据虽然不容忽视， 说服力却是很有限的。

当然， 除了数值证据外， 我们还有许多有关 Riemann 猜想的解析证据， 比如 第二十八节 中提到的 Conrey 所证明的 2/5 的非平凡零点在临界线上。 可惜这也远远不够 (连一半都不到嘛)。 支持 Riemann 猜想的其它理由还包括了一些在假定 Riemann 猜想成立的基础上被证明过的数学命题后来被发现不假定 Riemann 猜想的成立也能被证明， 这表明 Riemann 猜想与那些命题、 或者说与数学的其它部分有很好的相容性。 此外， 我们在 第三十三节 中介绍过的 “山寨版” Riemann 猜想的成立也被认为是支持 Riemann 猜想的一条很强的理由。

不过， 相信 Riemann 猜想的数学家们各有各的理由， 不相信 Riemann 猜想的数学家们则只要一条理由就够了， 那就是： 所有支持 Riemann 猜想的理由都不是证明。 在数学上， 这是一条打不倒的理由。 而且， 要想证明 Riemann 猜想成立， 必须 “一个都不能少” 地涵盖所有的非平凡零点； 而要想推翻它， 却只要找到一个反例就够了， 这种繁简程度上的不对称性也是大大有利于不相信黎曼猜想的数学家们的。 当然， 个别数学家还有自己更独特的理由， 比如我们在 第九节 中提到的那位曾在 Riemann 猜想研究上作出过重大成就， 后来却表示 “假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的， 日子会过得更舒适些” 的 Littlewood 不相信 Riemann 猜想的理由是 “一个长期不能解决的分析领域中的猜想通常会被发现是错误的， 一个长期不能解决的代数领域中的猜想则通常会被发现是正确的”。 由于 Riemann 猜想是一个 “长期不能解决的分析领域中的猜想”， 因此 Littlewood 认为它很可能是错误的。 Littlewood 没有为自己的理由列举具体的例子 (起码我没查到)， 不过我想他对 Li(x)-π(x)>0 这一猜想的否证也许是他心目中的例子之一。 但他这个理由其实也没什么说服力， 比如我们上面提到过的被 de Branges 所证明的 Bieberbach 猜想就是一个几十年不能解决的分析领域中的猜想， 结果却被证明是正确的 (当然， 那是 Littlewood 去世之后的事情了)。

除了上述这两种非此即彼的态度外， 还有少数人由 Riemann 猜想的长期悬而未决联想到了著名的 Gödel 不完全性定理 (Gödel’s incompleteness theorem)， 认为 Riemann 猜想有可能是一个在现有分析体系内不可判定——即既不能证明其成立也不能证明其不成立——的命题。 据说 Gödel 本人就有过这种看法。 不过， 对于像 Riemann 猜想那样如果不成立就可以用明确的算法——即按虚部从小到大的顺序对零点进行逐一验证——来予以推翻的命题， 如果真有人能证明它是一个不能证明其不成立的命题 (有点拗口)， 实际上等于表明它是成立的——因为否则的话只要用那个算法， 原则上总可以验证到使 Riemann 猜想不成立的第一个反例， 从而证明其不成立。 因此如果 Riemann 猜想真的不可判定， 那实际上是表明它成立^[注八]。

在本系列的最后， 让我们 “饮水思源”， 一同去看一眼 Riemann 的墓碑， 这位伟大的数学家只度过了 39 年 10 个月零 3 天的短暂人生， 就于 1866 年 7 月 20 日在意大利的一座湖畔小镇去世了。 据他生前挚友 Dedekind 的描述， Riemann 直到去世前的那一天， 仍坐在一棵果树下进行着数学探索， 当那最后的时刻到来时：

他没有一丝的挣扎及临终前的抽搐， 仿佛他是在饶有兴致地观看着灵魂与肉体的分离。 他妻子为他拿来了面包和葡萄酒， 他让她向家里人代为致意， 并对她说： “亲吻我们的孩子”。 她为他念诵祷文， 他自己已无法说话。 当她念到 “赦免我们的罪过” 时， 他的眼光虔诚地望向天空。 她感到他的手在渐渐变冷， 在呼吸了几次之后， 他那纯洁而高贵的心脏停止了跳动。

Riemann 去世后一度被葬在当地一座教堂的墓地里， 可惜那墓穴却在后来的一次教堂地产的重组中遭到了损毁， 如今保留下来的只有一块墓碑， 嵌在离原址不远处的一堵墙上。

Bernhard Riemann 的墓碑

好了， 亲爱的读者， 我们的 Riemann 猜想漫谈到这里就正式结束了。 从 2003 年 11 月写下 第一节， 到今天完成最后一节， 这个系列前前后后已持续了八年多的时间， 虽然有关 Riemann 猜想的探索还远未结束， 我却要跟大家说再见了。 当然， 如果在我有生之年 Riemann 猜想被数学界公认得到了解决， 我一定会续写这个系列的， 但现在请允许我先说一声——

再见！

注释

1. 另一个衡量数学猜想重要性的指标， 是看在研究该猜想的过程中是否发展出有价值的数学手段。 从这个角度上讲， Riemann 猜想也是极为重要的。 比方说， Fermat 大定理的证明就在一定程度上受益于因研究 “山寨版” Riemann 猜想而发展起来的代数几何手段。
2. 据说在对有关 Riemann 猜想的研究进行评述时有一种比较 “规范” 的总结词， 那就是： “这确实是一个重要进展， 但如何才能证明 Riemann 猜想仍不是很清楚”， Princeton 高等研究院的巨头们对 Connes 的评价与那种总结词颇有异曲同工之意。
3. Connes 这段话中提到的 Gustave Choquet (1915-2006) 是一位著名的法国数学家， 在分析与拓扑等领域作出过重要工作。
4. “千禧年问题” 的排序不是依照问题的重要性， 而是依照问题英文名称的长度进行的。 这种排序的目的是使列举 “千禧年问题” 的新闻稿看起来更加有序， 从而更能吸引眼球。
5. Grothendieck 这一例子， 尤其是研究 Riemann 猜想有可能对其精神异常有过影响这一猜测来自于 Marcus du Sautoy (1965-) 的《The Music of Primes》一书。 du Sautoy 是 Cambridge 大学的数学教授， 为撰写该书亲自采访了很多数学家， 其中包括本系列提到过的 Bombieri、 Odlyzko、 te Riele、 Selberg、 Zagier 等人， 是一位比较可信的作者。 不过 Grothendieck 这一例子有些例外， 我虽进行了引述， 对其可靠性却不无怀疑。 首先是 Grothendieck 的精神是否异常， 不像 Nash 的例子那样清楚， 因为他自 “消失” 之后与社会的联系微乎其微， 有关他的很多说法都只是传闻。 其次， 即使他的精神确实异常， 那是否是研究 Riemann 猜想所致， du Sautoy 没有给出证据， 我在其它资料中也未看到过对这一说法的支持。 从行为上看， Grothendieck 的异常始于 1970 年离开法国高等科学研究院 (Institut des Hautes Études Scientifiques——简称 IHÉS) 一事。 但一般认为——du Sautoy 自己也持此说——此事乃是他的极端和平主义思想所致， 他是因为发现 IHÉS 的经费有一部分来自军方之后， 才愤然离开了这一堪称自己学术黄金之地的研究所。 在那之前， Grothendieck 的研究课题之一是 Weil 猜想， 他曾试图用一系列所谓的 “标准猜想” (standard conjectures) 来证明 Weil 猜想中的 “山寨版” Riemann 猜想部分。 他在这方面的努力遭到了挫折 (“标准猜想” 直到今天仍未被证明)， 但那挫折虽在时间上与他自 1970 年开始的行为变化有些巧合， 却未必有因果联系， 而且那挫折对他的精神造成过多大影响也并不清楚。
6. 当然， 这种来自作者本人的出版 “禁令” 并不是永久有效的， 不过在许多尊重版权的国家， 作者生前的意愿往往要到去世几十年之后才会失去效力。
7. 这个最小的 x 被 Hardy 称为 Skewes 数 (Skewes’ number)， 因为最早对它进行数值估计的是 Littlewood 的学生、 南非数学家 Stanley Skewes (1899–1988)。
8. 文献中对这种可能性的讨论很少， 前面注释中提到的 du Sautoy 的《The Music of Primes》可算例外。 我对 “不可判定” (undecidable) 一词的使用也是效仿该书。 不过对 Riemann 猜想来说， 这种可能性实际是指 Riemann 猜想成立， 但不能在现有的分析体系内得到证明的可能性， 因此更恰当的说法也许是 “不可证明” (unprovable)， 而不是 “不可判定” (因为如正文所述， “不可判定” 本身就能确立其成立， 从而起码在真假意义上是可判定的)。

二零一二年一月十一日写于纽约
二零一二年一月十二日发表于本站
http://www.changhai.org/

Riemann 猜想漫谈连载

（本文授权转载自卢昌海老师的个人博客，欲再转载者请联系原作者）