2013
02.20

混沌，又一次数学之旅

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本文作者：方弦

大家还记得几年前的数学电影《维度》（Dimension）吗？前不久，《维度》的原班人马推出了新作：《混沌》（Chaos）。里昂高师的 Jos Leys, Étienne Ghys和Aurélien Alvarez，又一次为我们带来了一场精彩的数学之旅。

上下求索

洪水、地震、旱灾、疫病，远古先民遇到这些灾难时，只有束手无策，而这些灾难来得又是如此突然。于是，预测未来的冲动就深深地植根于人类内在的渴望。卜筮、占星、巫祝，这都是先民掌握自己命运的天真尝试。

但天真的尝试有时是理性分析的开始。从占星脱胎而来的天文学，在17世纪初，第谷和开普勒的努力，向人们揭示了天体运动的某些规律。原来一度象征着天意那些不可捉摸的星辰，在天文学家的努力下，渐渐褪下神秘的面纱。

牛顿则将对自然的探索推上了新的台阶。原本人们以为，处于众神居所的天体，必定不受凡尘俗世规则的束缚。但牛顿力学与万有引力理论却说明，天体和苹果都遵守着同一套物理规则，万物平等。有了牛顿力学，再加上他和莱布尼兹发明的微积分，人类似乎拥有了梦寐以求的预言未来的能力。自此，人们对科学愈加重视，冀望有朝一日摸清自然的规律，从而预知甚至改变未来。

为了达到这个目的，数学家发展了一整套数学工具。他们将微积分拓展到多维空间，甚至一般的流形，用以描述更加多变的模型。计算工具也从原来的常微分方程拓展到偏微分方程，而计算的不仅是数字，还有向量。时至今天，在这些模型的基础上，人们对自然规律的数学探索已经演化为数学的重要分支之一：动力系统。

无处可寻

但知道规律并不代表能预见将来。

举个例子，桌球的物理规律并不复杂，牛顿力学足以解释。但要从桌球开局的一击推断球的最后分布，却是难上加难。

这其中有两重原因。

第一，虽然理论上，如果知道击球的准确力度，就能精确计算出之后每个时刻每个球的位置和速度，但桌上的球数目众多，之间所有可能的碰撞实在难以预计。所以，虽然理论上的计算是可行的，但实际操作中却是困难的。这就是多个客体相互影响所带来的复杂性。

第二，从日常经验中，我们知道即使击球的力度稍有改变，或者球的摆放稍有差异，甚至是桌布上的一点点灰尘导致的偏离，也会给击球的结果造成非常大的影响。换句话说，桌球这个动力系统对于微小的扰动是敏感的。

微小的扰动可能给系统带来巨大的影响，这种敏感性的学名，就叫混沌。用“差以毫厘，谬以千里”来描述这种现象，恐怕是再合适不过了。

最简单而引人注目的混沌，莫过于三体运动。仅仅三颗星体的运动，就能变得复杂而眩目。这种复杂曾令数学家们在百年间困惑不已。如果只有两个天体，那么一切是多么简单，18世纪的伯努利就已解出了运动的所有可能轨迹，用合适的坐标，就能用简单的曲线描述。但仅仅是多了一个天体，就要等到19世纪的庞加莱，才给出了差强人意的答案：没有漂亮的解（正式术语是三体系统是不可积的）。这并非因为人类的智慧所限，而是从本质上来说，三个天体之间的运动轨迹不可能用简单的式子表达。自然并不像原来期盼的那么简单，它的复杂性令人绝望。大刘《三体》中的三体人，大概最明白这一点。

但正是这种复杂性孕育了无数可能。并非所有三体系统都不可理解，通过合适的构造，我们可以得到一些会沿着既定曲线运转的系统。通过合适地安排速度和位置，我们也可以使其中一颗星体按照任意给定的顺序探访其余两颗星体。但这些系统是如此脆弱，一点点扰动就会打破微妙的平衡，后果可能是其中一颗星体被抛射出去，从此分道扬镳。实际上，我们连我们所在的太阳系的稳定性都不清楚，不知道数百万年后，木星和土星的巨大质量会不会将其它行星，包括地球，抛射到广袤的恒星间空间中。这种事情曾经发生过，而由于混沌，我们不可能完全确定这不会再度发生。混沌，似乎代表了无尽的不确定性，以及所带来的恐惧，就像我们的先祖曾感受过的那样。

失而复得

但也许并非一切都不可掌握。

三体系统只是一种特殊的动力系统。除此之外，在生活中能遇见的动力系统还有很多，比如说天气。天有不测之风云，天气系统涉及整个地球上所有洋流和大气、速度和温度，比起天体的运转更要复杂得多。时至今天，天气预报仍然是个大难题。

对于这种复杂的难题，科学家的第一个想法总是先将它简化。由易到难，由浅入深，这是科学家的一贯作风。“一切应该尽量简单，但不能过分简单”，这是爱因斯坦的话。

如此看来，气候学家洛伦茨在1963年论文中提出的天气模型，恐怕属于“过分简单”的范畴。天气系统如此复杂，用数百万个变量来描述都不为过，但洛仑兹将其压缩到了三个变量：x，y和z。这只是一个玩具模型。

但实际上，这个玩具模型对于他的论点来说，也许恰到好处。以前的天气模型大多是线性的，没有过多考虑各种因素之间的复杂关系，洛伦茨早已对此有所不满，认为这样简单的模型无法描述多变的天气。而他的玩具模型，尽管只有三个随着时间变化的变量，但变量之间却有着非线性的联系，很好地诠释了因素之间的相互影响。

就在这样简单的玩具模型之下，竟然也出现了混沌现象。而且这种现象似乎是普遍的，因为在三个变量取值的大部分可能性下，系统演变的轨迹都会渐渐趋近于同一个产生混沌的区域，就像磁铁吸引着图钉，混沌的行为成为了必然。这就是人们发现的第一个混沌吸引子：洛伦茨吸引子。它的形状，就像一只蝴蝶。这大概也是洛伦茨将这种混沌的现象称为“蝴蝶效应”的原因。一只南美洲蝴蝶的扑翼，在蝴蝶效应的放大下，也许可以引起得克萨斯州的一场飓风。天气不可能准确预测，因为天气是混沌的，微小的扰动在长远看来是不可忽略的，而我们又无力去追踪无数的扰动，只能一边预计，一边修正。

但也许并非一切都不可掌握。除了蝴蝶效应以外，洛伦茨吸引子还有另一种特性。对于几乎任意一种初始状态，也许我们不能描述系统的具体运行轨迹，但当时间趋向于无穷时，我们可以知道系统每个变量处在不同区间的可能性。我们不知道变量具体的值，但是知道变量的值处于某个范围的概率，而这个概率不依赖于初始状态。用行话来说，洛伦茨吸引子具有某种测度。即使我们不能精确预言系统的未来，但我们仍有希望知道某种未来发生的概率。

遗憾的是，并非所有动力系统都有这个特性，尽管这种特性可能相当普遍，可能对于绝大部分的动力系统，包括天气、星系甚至社会，都有着不依赖初始状态的概率测度。但我们的认识仍然太浅薄，难以给出哪怕是模糊的答案。探索，才刚刚开始。

最后，我们以影片中引用法国博物学家布丰的话作结。对于混沌，也许这是再适合不过的描写。

“一切相互影响，因为时间，一切将会相遇。而在自由延伸的空间，以及无限延续的运动中，所有物质缠绕着，幻作所有形状，映出所有轮廓。一切且近且远，且聚且散，且合且离，且生且死。而这全因那些或吸引或排斥的力，只有它们是永恒的。它们不知疲倦地摇摆着，使宇宙焕出活力，成为一座舞台，用不断重生的实物演着常新的戏码。”