本文作者：方弦

《计算的极限》系列

殊途同归

大洋彼岸寄来的论文，对于图灵来说，并不是什么好消息。在看到丘奇的论文后，图灵有过何等反应，至今恐怕已不可考。面对着一位在数理逻辑方面已然小有名气的职业数学家，与自己一起独立发现了相同的突破性结果。往好处想，这说明图灵自己的水平已经达到了当时数理逻辑研究的前沿；往坏处想，重复了别人的结果，哪怕是独立发现的，似乎都有些不对味儿。

然而，在下定论之前，图灵还有一件事情要搞清楚。他和丘奇对“可计算性”的定义，分别建筑在图灵机与λ演算之上。那么，在不同的基础上定义的两种“可计算性”，是貌合神离还是本为一体？

图灵机与λ演算，两者似乎都在平平无奇中暗藏玄机。作为计算模型，它们有很多相似之处，比如自我指涉的能力。但它们看起来又是如此不同，图灵机是一台在工程上能建造的机器，而λ演算则是一个彻头彻尾的数学模型。看起来，要回答这个问题，并非易事。

图灵知道，丘奇也知道，他们已经踏入了一个新领域。昔日希尔伯特在他的二十三个问题中，一语带过的那个“机械化的运算”，即将被赋予精确的数学含义。但正因如此，踏出的第一步必须慎之又慎，尤其对于“可计算性”这个最基础的定义，必须做到毫不含糊。为此，为了消除模棱两可之处，图灵机与λ演算是否能力相当，这是个必须回答的问题。

知己知彼，百战不殆。为了解答这个问题，图灵开始钻研λ演算，试图弄清到底λ演算能计算什么。终于，他证明了，所有λ演算能计算的函数，他的图灵机也能计算，反之亦然。也就是说，λ演算与图灵机的计算能力是等价的，两种模型定义的“可计算性”实际上殊途同归。他将这个结果作为附录补充到了他的论文。

对于图灵来说，这既是个坏消息，也是个好消息。坏消息是，他的结果与丘奇的重复了，对于发表文章来说，这不是什么好事情。好消息是，他的结果与丘奇的重复了，但他对可计算性的定义与丘奇的截然不同，而且两种看似毫无关系的定义，在实质上是相同的，这说明，他们对可计算性的定义，这最初的一步踏出的方向是正确的。一个人提出的定义很可能忽视某个方面，但现在两个截然不同的定义引向相同的结果，在交叉印证下，几无出错之虞。

可以说，图灵的工作面世之日，正是可计算性理论呱呱坠地之时。

也难怪纽曼教授一开始不相信图灵的工作。仅仅二十出头，刚刚踏入科学界的年轻人，就解决了如此重要的问题，而且为一个全新的领域立下了奠基石，这种人，即使在剑桥这个英国顶尖学府，也可谓难得一见。倒不如说，一开始不相信，这才是正常的反应。

但即便不相信，数学证明就是证明。即使纽曼教授并不专精于数理逻辑，还是能看出图灵论文的过人之处。他决定为图灵争取发表的机会。

这并非易事。因为从结论上说，图灵重复了丘奇的结果，所以最初联系的几个期刊的编辑都婉拒了纽曼的要求：他们只看到了论文的结论，没看到论文的精髓。最后，纽曼找到了当时伦敦皇家学会学报的编辑，经过三催四劝，终于说服编辑发表图灵的文章。

《论可计算数，及其在可判定性问题上的应用》，图灵的这篇文章，后来被认为是伦敦皇家学会学报发表过的最重要的文章之一。

万变之宗

乘着远洋货轮，图灵的论文很快传到了大洋彼岸，在普林斯顿掀起了一阵旋风。

在普林斯顿高等研究院的哥德尔，与丘奇有过不少碰面的机会。他读过丘奇的论文，大概也听过丘奇本人介绍他的λ演算。但哥德尔对λ演算一直颇有微词。实际上，作为一种计算模型，λ演算从未得到他的认可。它与人们日常接触到的“计算”毫无相似之处，更像是符号的堆砌和推演。虽然其中的计算的确可以机械性地完成，但要证明这一点绝非易事。事实上，这是一个远非显然的定理，证明也相当复杂。总而言之，λ演算并不像机械的计算，更像智慧的推理。

实际上，哥德尔自己也有一套“机械计算”的模型，那正是他在证明哥德尔不完备性定理时发展出来的递归函数体系。这套体系将“机械计算”定义为递归函数能计算的内容，而递归函数，顾名思义，就是可以用某些递归方式定义的整数函数。但哥德尔对他自己的模型同样不满意，原因同样是他的模型似乎需要太多的聪明才智，不像一台机器。

但图灵的论文瞬间就令哥德尔为之折服。

任何人，只要看一眼图灵机的定义，都会认同图灵机的计算完全是机械演算，完全可以造出一台可以运作的实际的图灵机。而更重要的是，图灵机抓住了“机械计算”的神韵。

机械计算是什么？是机器可以做出的计算。但机器可以千奇百怪，要用三言两语抓住本质，似乎不太可能。那么，何不反其道而行之？与其想像这些机器共有的特性，不如寻找它们共有的限制。

这正是图灵在论文中的做法。他总结了以下几个机器计算的限制：

第一：一台机器只有有限个可以分辨的状态；一台机器能分辨的表示数据的符号只有有限种。

开关或开或合，电路或通或断，中间的变化是跳跃式的。即使是连续的电信号，由于不可避免的热噪声影响，通过测量能分辨出的状态同样只有有限个。虽然现代的计算机看似有无限可能，但这只是幻觉。CPU和内存中的电路，数量虽然庞大无比，但总归是有限的，它们的通断形成的不同状态亦是如此。同理，虽然符号、信号在细节上可以有无数种变化，但由于精度等问题，即使是人，也无法事无巨细将所有细节一一分辨出来，更何况机器。

第二：机器的每一步操作需要的时间有一个下限，而每次操作最多只能读入与改写外部有限个符号。在某次操作读写某处的符号后，下一步机器读写的符号与之前符号的距离应该是有界的。

由于物理的限制，不存在速度无限的物体。无论任何机器，都不能在有限的时间内作出无限次操作，当然也不可能有无限次读入与改写。同样，读写头移动的速度是有限的，所以两次操作读写符号的距离当然也有限制。

第三：在某步操作中，机器的行动完全取决于它当时的内部状态以及读取到的符号。

机器就是机器，它应该做的，就是按照预先规划的图纸一步一步执行。没有异想天开，没有灵光一现，只有照章办事，只有步步为营。

这几个限制看起来相当合理，甚至显得理所当然。但就从如此平平无奇的限制出发，图灵用缜密的逻辑说明了，一台服从这些限制的机器能计算的问题，必定可以用一台特定的图灵机解决。也就是说，任何一台服从这些限制的机器，无论设计如何精巧，构成如何复杂，它的计算能力都不可能超越图灵机，无一例外。

我们甚至可以说，图灵机的设计本身，正是这些限制的一种体现。图灵很可能一开始就意识到了这些限制，再由此出发，去定义他的图灵机。哥德尔之所以对图灵机击节叹赏，大概也正因蕴含在它定义中的，图灵对“机械计算”的深刻洞察。相比之下，虽然与之等价的λ演算也尚算精致，但对于“机械计算”只得其形未得其神，显然逊色不少。

现在，希尔伯特在他的问题中那模糊的“机械计算”，终于有了一个精确的定义：机械计算，就是图灵机能做的计算。这又被称为图灵-丘奇论题，正是可计算性理论的奠基石。

除了λ演算与递归函数以外，还有许多计算系统与图灵机等价。波斯特对应问题，计数器机，马尔可夫算法，甚至元胞自动机，这些计算模型都与图灵机等价。但以我们的后见之明来看，图灵机仍然是机械计算最自然最有用的模型之一。

也正因这篇论文，图灵得到了到普林斯顿读博深造的机会，在丘奇的指导下，得以继续探索可计算性的无限可能。在大洋彼岸等待图灵的，又是可计算性理论的一篇新章。