本文作者：张 天蓉

13.从纠缠态到Qubit

使用我们在第8节中表述纠缠态时所用的简单数学，描述一下三粒子纠缠时的状态。

现在，我们有三个粒子、和，它们分别都有两种定态0、1（ 、 、 、和）。因此，它们的单粒子定态可以组成8种三粒子定态：

|111>、|110>、|101>、|100>、|011>、|010>、|001>、|000>。 （12.1）

这儿使用了狄拉克符号来表示三粒子的状态。狄拉克符号其实很简单，只不过是给原来代表状态的字母或数字两边，加上了一件由左右两个符号：∣＞，制成的外套而已。套上了这件外套，所表示的状态看起来，要比接连写一串数字或字母，意义清楚明了多了，并且还多了一层‘量子’的意思。比如说，我们用∣111＞来表示三个粒子、和都是1的那种量子状态。这儿的0和1，对电子来说，对应于不同的自旋；对光子来说，则对应于不同的偏振方向。其实，狄拉克创造的外套符号有两种。除了我们在（12.1）中用过的右矢∣＞（英文名ket）之外，还有一个左矢＜∣（英文名bra），我们以后也将会碰到。

读者可能还会发现，（12.1）中所列出的8种状态，与计算机数学中使用的二进制中，3个比特所能表达的所有2进制数值非常相像。不错，这正是我们本节的后半部分要介绍的qubit。在这儿，狄拉克ket外套∣＞起到了作用，使它们看起来才有别于经典计算机科学中所说的bit！

和以前介绍过的双粒子纠缠态类似，从（12.1）中列出的的8种三粒子定态，我们可以组成无数多种纠缠态。其中格林伯格等人感兴趣的，是后来被人们称作GHZ态的那一种量子态。GHZ态可以写成如下表达式：

|GHZ> = |111> + |000> （12.2）

按照前面几节的惯例，我们在公式（12.2）中，略去了归一化系数-1。以后也都照此办理。

这个GHZ纠缠态是什么意思呢？类似于对双粒子纠缠态的解释，我们可以这样说：这个态是两个三粒子本征量子定态|111>和|000>的叠加态。再来复习复习前面几节中介绍过的所谓‘叠加’的意思：当我们描述电子干涉双缝实验时，‘叠加’意味着电子同时通过两条缝，既穿过缝1，又穿过缝2。所以，这儿|111>和|000>的‘叠加’ 就应该意味着，这个三粒子体系既是|111>，又是|000>，或言之：同时是定态|111>和定态|000>。如果使用哥本哈根派波函数塌缩的诠释说法：在测量之前，三个粒子是什么状态我们完全不能准确地说清楚。但是，只要我们一旦测量其中一个粒子，比如说，我们如果在方向测量粒子A的自旋，其结果是|1>，那么，另外两个粒子方向的自旋状态也立即分别塌缩为|1>；如果我们测量其中一个粒子（）在方向的自旋，结果是|0>，那么，另外两个粒子方向的自旋状态也立即塌缩为|0>。在上述说法中，如果被测量的不是粒子，而是或，另外两个粒子也将遵循类似的塌缩过程。

使用更严格的数学，可以证明：GHZ纠缠态是三粒子量子态中纠缠度最大的态。我们在这儿谈到了纠缠度的大小，却尚未对纠缠度下定义。说实话，对纠缠度至今还没有一个公认的明确定义。一般可以用量子统计中使用的冯·诺伊曼‘熵’来定义纠缠度，但这就越扯越远，越扯越专业化了，就此打住。

除了GHZ纠缠态之外，在量子信息中又有人研究一种三粒子纠缠态中的W-态：
|W> = |100> + |010> + |001> （12.3）

下图用一个很直观的图像描述，来表示GHZ纠缠态和W-纠缠态的区别：

【三粒子纠缠态和Knot理论】

GHZ态和W-态分别对应于knot theory中的Borromean ring和Hopf ring。从上图中很容易看出两种结构的区别。如果我们断开图中左边Borromean ring三个圆环中的任何一个，其余两个圆环也立即分开了，这点性质可以对应于刚才我们所描述的GHZ态的量子力学特征：如果一旦测量三粒子系统中的任何一个粒子，其余两个粒子也立即分别塌缩为它们各自的单粒子定态。但是，如果我们考察图中右边的Hopf ring就会发现，当剪开三个圆环中的任何一个时，另外两个圆环并未被分开，仍然纠缠在一起。这种knot的性质也有它的量子力学对应：从W-态的表达式（12.2）中看出。当测量其中一个粒子而结果为|0>的时候，另外两个粒子塌缩到不能分离的双粒子纠缠态：|10> + |01>。

GHZ态和W-态是两类完全不同的纠缠态，不能互相转换。对三粒子系统的GHZ态和W-态可以很容易地推广到n粒子系统。用量子计算的语言来说，表达式（12.2）和（12.3）可以很容易地从3-qubit（3位量子元）系统，推广到n-qubit（n位量子元）系统。

现在，我们解释一下，什么叫qubit（或称q-比特）？类似于比特，它所表示的是量子计算机技术中的一个存储单位。随着计算机和网络走进社会，走进人们的日常生活，有关‘比特’，‘二进制’等概念几乎已经家喻户晓。而现在在本文中，我们在‘比特’这个词前面，加上了一个q，本文讨论的又是量子（quantum）问题，qubit的意义便显而易见了，那不就是一个‘量子比特’吗？

然而，重要的是，一个‘量子比特’和一个‘比特’，本质上有些什么相同及不同之处呢？很幸运，我们在前面表示三粒子纠缠时，用的是0和1，这和计算机中表示‘比特’和‘二进制’的符号是完全一致的，这是量子比特和比特的共同点，至于它们的不同之处，可以从物理和算法两种角度来理解。

我们首先从物理的角度来看‘比特’：在经典计算机的电子线路中，一般是經由介質中某點电压的‘高’和‘低’兩种不同的物理狀態來表示數學中的‘0’和‘1’。比如说，我们可以将大于0.5伏特的电压状态，规定为‘1’，小于0.5伏特的电压状态，规定为‘0’。这样，在一個确定的時刻，某点的电压或者是‘高’，或者是‘低’，也就是说，一个寄存器的输出，要么是‘1’，要么是‘0’，兩种狀態中只能取其中之一。这是由经典物理的决定性所决定的。这个或0或1的电压输出，就可以用来表示一个‘比特‘。

看到这儿，读者们已经预料到了，既然用经典的电压高低状态来表示比特，那么，本文中讨论了半天的量子态，就可以用来在物理上实现一个‘量子比特’。比如说，电子的自旋有‘上’‘下’之分，光子的园偏振方向有‘左’‘右’之别，这些量子力学中的物理量都可以用来对应于1和0两个数字，构成‘量子比特’。

谈到量子比特的特别之处，又回到了我们贯穿此文的，唠唠叨叨不断说到的一个量子现象的基本特点：那种“既是此，又是彼”的叠加态。也就是说，量子力學中的物理量都是分立的、不连续的、几率的。不存在那种类似经典力學中的‘在确定的時刻，确定的输出电压’的概念。所以，一个‘量子比特’在一個确定時刻的数值，是非決定性的。既是‘上’，又是‘下’，同時是‘0’又是‘1’。

‘量子比特’和‘比特’在算法意义上的不同，也是基于用以表达它们的物理状态的不同。我们知道，一个经典的比特有0和1两种状态，可以用它来表示0，或者表示1，但只是表示0、1中的其中一个。而一个量子比特同时有0和1两种状态，因此，就可以用它来表示0，也表示1，同时代表两个数。‘一个数’和‘两个数’，差别不大，但如果是3个比特（或3个量子比特）放在一起，就有些差别了。三个经典比特有了8个不同的状态，但仍然只能表示0-7之间的一个数。如果是三个量子比特组成的系统，就不一样了。那种情形下，可以同时存在8种不同的状态，因此，它可以用来同时代表0-7这8个数。

现在，假设我们有了一个3-qubit系统构成的计算器，我们可以进行计算了。比如说，将它乘以5。当我们输入5，并发出运算指令后，这个3-qubit系统中0-7的所有8个数都开始进行运算，并同时得出8个结果来！令人吃惊吧，这比较起一个经典的3-bit系统只能得到一个结果来说，运算速度不是快了8倍吗？因为它相当于8个经典计算器同时进行平行运算。可不要小看这个8倍，如果把它看成是的指数形式，意义就大了。假设我们的量子计算机有100qubit，或者更多的话，你不妨计算一下，计算速度将增快多少？

用一个通俗的比喻，也就是说，经典的原则是：‘魚’和‘熊掌’，不能兼得；而在量子世界中，‘魚’和‘熊掌’竟然可以兼得！这样，一台量子计算机就可以相当于有多台，并且是指数倍增长的多台经典计算机，在同时进行平行运算。可想而知，那速度当然快啰！

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