本文作者：方弦

硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端。据说，遇到不可调解的分歧的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币。足球场上开球方的决定，习惯上也是用硬币决定的。除此之外，硬币作为垂手可得的小道具，也能玩出各种花样的小游戏。对于这些小游戏，你又知道多少呢？

硬币正反不一样

如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的。我们常说，正反面出现的概率都是0.5。那么，这里的“概率”是什么意思呢？

如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半。投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5。这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率。

我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然。由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差。以人民币一元硬币来说，正面是代表面额的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计。

【欧元硬币图案一览】

尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差呢？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？

假设某枚硬币掷出正面的概率是p，我们用以下的方法产生抛硬币的结果：掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次。更具体地说，如果结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面，如果是“正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来。这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是p(1-p)，结果是完全公平的。

正反抵消不容易

掷100次硬币，正面和反面相差多少次呢？1000次呢？10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同。你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的。但事实如何？

虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大。打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的。尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气。稍稍用点数学知识可以知道，抛2n次硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是。当n越来越大，这个概率越来越趋近0。也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着抛硬币的总次数变低，最后越来越接近0。

所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言。意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果。我们说投掷硬币时出现正面的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5。但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5。实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5。某几次投掷之后正面恰好占一半，这种情况发生的机会反而很小。

谁先谁后轻松选

如果你跟你的小伙伴一起玩游戏要决定谁先谁后的话，抛个硬币是个很好的解决方案。但是如果小伙伴不止一位的话，单靠硬币可能就不太容易解决问题了。如果要从四个人里公平地挑出一个，掷两次硬币，将四种不同的结果（正正、正反、反正、反反）分别指派给每个人，掷出哪种结果就选哪个人，这种方法还是挺方便的。但如果只有三个人呢？

三个人的时候，有一种比较显而易见的解决方法：同样掷两次硬币，将正正、正反、反正三种结果指派给三个人，如果掷出的结果是指定的结果之一，那么就选出对应的人；否则，如果运气不好掷出“反反”的话就重新开始另一轮硬币的投掷。显然这种方法保证了公平性，因为在每轮掷硬币中，每种结果出现的概率是相同的。但会不会运气不好，一连好几轮都掷出“反反”，需要重新开始？

我们可以算一算。每一轮掷出“反反”重新开始的概率恰好是1/4，而n轮都出现如此情况的概率是1/4的n次方，当n越来越大的时候，这个概率很快地会变得越来越小。直观看来，一轮不能决出结果的概率也不高，所以大概不需要拖上很长时间。更严格的计算表明，用这种方案从三个人中选出一个，平均只需要投掷8/3次硬币就能完成，算上来大约比两次多一点点，说明这种方法还是很有效的。

实际上，这种方法可以推广到任意人数，而且也能证明，平均需要投掷硬币的次数一定不会太多，随着人数增长，平均投掷次数也会增长，但是要缓慢得多。

尼姆游戏有乾坤

硬币除了能解决分歧，还能用来玩玩游戏。其中一种游戏非常有名，叫“尼姆游戏”。这个游戏的玩法很简单，先将硬币分成几堆，然后两个人轮流取硬币，每次取硬币只能从同一堆中取出，枚数不限，但至少要取一枚，取走最后一枚硬币的就是赢家。

【尼姆游戏很流行的一个版本，图片转载自这里】

比如说，甲乙二人玩这个游戏，开局有三堆硬币，分别有3、5、7枚。甲先取走第二堆中的4枚，每堆剩下3、1、7枚，接下来乙取走第三堆的所有硬币，剩下的就分别是3、1、0枚。接下来甲只要取走第一堆中的2枚，留给乙的就是各自有一枚硬币的两堆。这时，乙只能取走其中一堆，而甲只需要拿走剩下的一堆就能获胜。

从这个例子能看出来，尼姆游戏中没有运气的成分，每位玩家都能看清整个局势，而玩家能采取的行动也是一样的，区别只是在于一位先攻而另一位后守。在博弈论这一研究游戏取胜策略的数学分支中，这样的游戏被称为无偏博弈。也正是博弈论中的一个定理，赋予了尼姆游戏一个非常特殊的地位：任意给定一个无偏博弈，它都对应一个推广了的尼姆游戏的特例。可以说，尼姆游戏中包含了所有的无偏博弈，比如象棋、围棋等，尽管这些更为复杂的游戏，它们对应的尼姆游戏特例中可能有很多堆硬币，每堆硬币可能会很多，甚至有无穷枚，需要用更为抽象的“序数”来描述。

让我们回到普通的尼姆游戏中。在之前的例子中，如果甲乙双方都依照最好的策略来玩尼姆游戏，哪一方将会胜出，而胜者需要采取怎么样的策略？这个问题就留给小读者们思考了。给个提示：最优策略与二进制有关，如果只有两堆硬币的话，获胜者与策略都比较明显，如果有三堆甚至更多的硬币的话，从简单的情况开始，试验一下，再观察一下，将每堆的数量用二进制写出来，到底满足什么样的条件，先走者会胜利呢？

硬币阵列需策略

另一种与尼姆游戏很相似的硬币游戏叫“大嘴巴”，英语里叫“Chomp”。尼姆游戏的战场是一堆硬币，而“大嘴巴”的战场则是排成长方形阵列的硬币。规则与尼姆游戏非常类似：一开始桌面上摆放着m×n的长方形硬币阵列（比如说5×7），两人轮流取硬币，每次指定桌面上剩下的硬币之一，然后将这枚硬币以及它右下方的所有硬币都取走（包括正右方与正下方），阵列左上方的硬币是特殊硬币，谁拿到手谁就输掉整场游戏。

【3 × 5的大嘴巴游戏过程举例，图片出自维基百科】

虽然“大嘴巴”与尼姆游戏非常相似，但它们的性质相当不同。对于尼姆游戏而言，在不同的开局中，能取胜的玩家也不同，有的是先手必胜，有的是后手必胜，而且策略很容易算出来。但对于“大嘴巴”而言，除了一开始只放一枚硬币的开局，对于所有开局来说，都是先手必胜。虽然证明并不复杂，但并没有给出具体的获胜策略。要知道具体的获胜策略，目前还只能借助计算机的力量。所以，比起尼姆游戏，“大嘴巴”更有趣更复杂，更适合跟朋友一起玩。

叫上你的小伙伴，拿上一把硬币，立刻探索一下简单游戏的朴素乐趣吧！

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本文是果壳网《超好玩硬币游戏，你都会玩吗？》的扩展，已发表于《十万个为什么》杂志2014年12期